Имеется LG GHX36 выпуска 2000 года. После пятилетнего лежания на складе решили её повесить поработать. И выяснилось вот что:
1) При выключении питания сбрасываются все настройки в состояние по умолчанию
2) При разговоре по городской линии часто связь вдруг берёт и ни с того ни с сего прерывается и приходится перезванивать, причем по 2-3 раза.

Что это может быть? Как диагностировать правильно данные проблемы и каковы возможные способы их устранения?

1) Менять литиевую батарейку на MBU.

Начните хотя б с этого:
если располагаете "Руководством...", то обратите внимание на раздел с названием типа "ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ ЛИТИЕВОЙ БАТАРЕИ". Там указано про установку в рабочее положение перемычки для этой батареи. Это раз.
В любом случае, её состояние вызывает вопрос. Поэтому потребуется состояние определить. А это уже будет зависеть от того, "дружит ли с Вами электротехника".
Если перемычка на месте, станция под питанием хотя бы сутки, но происходит сброс к заводским установкам, то скорее всего она сдохла. И требуется замена.